Primitiva (matematica)

In analisi matematica, si dice primitiva o antiderivata di una funzione ${\displaystyle f}$ una funzione derivabile ${\displaystyle F}$ la cui derivata è uguale alla funzione di partenza. Denotando con l'apice la derivata, ${\displaystyle F'(x)=f(x)}$. L'insieme di tutte le primitive di una funzione ${\displaystyle f}$ è detto integrale indefinito di ${\displaystyle f}$. Il calcolo della primitiva è strettamente legato alla risoluzione degli integrali definiti dal teorema fondamentale del calcolo integrale: infatti, l'integrale di una funzione, se esiste, è uguale alla differenza dei valori della primitiva sugli estremi di integrazione.

Definizione

Data una funzione ${\displaystyle f\colon I\to \mathbb {R} }$, definita su un intervallo ${\displaystyle I\subset \mathbb {R} }$, si definisce primitiva una funzione ${\displaystyle F\colon I\to \mathbb {R} }$ tale che

${\displaystyle F'(x)=f(x)}$

per ogni ${\displaystyle x\in I}$.

Se ${\displaystyle F}$ è una primitiva di ${\displaystyle f}$, tutte e sole le primitive di ${\displaystyle f}$ sono nella forma ${\displaystyle F(x) C}$, dove ${\displaystyle C}$ è una costante arbitraria reale.

L'integrale indefinito di ${\displaystyle f}$ è l'insieme di tutte le sue primitive. Esso si denota con il simbolo

${\displaystyle \int f(x)dx}$

e se ${\displaystyle F}$ è una particolare primitiva di ${\displaystyle f}$, allora

${\displaystyle \int f(x)dx=F(x) C}$

al variare di ${\displaystyle C\in \mathbb {R} }$.

Principali primitive

Un metodo spesso utilizzato per calcolare le primitive di una funzione razionale è la decomposizione in fratti semplici. Per gli altri casi, alcune primitive molto frequenti sono esposte nel seguito:

Note

Bibliografia

• Paolo Maurizio Soardi, Analisi Matematica, CittàStudi, 2007, ISBN 978-88-251-7319-2.
• (EN) Introduction to Classical Real Analysis, by Karl R. Stromberg; Wadsworth, 1981 (see also)
• (EN) Historical Essay On Continuity Of Derivatives, by Dave L. Renfro;

Voci correlate

• Derivata
• Integrale
• Teorema fondamentale del calcolo integrale

Altri progetti

• Wikizionario contiene il lemma di dizionario «primitiva»

Collegamenti esterni

• primitiva, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
• (EN) Wolfram Integrator — Free online symbolic integration with Mathematica
• (EN) Antiderivative calculator with step-by-step solutions Archiviato il 23 agosto 2013 in Internet Archive. — supports all common methods and rules of integration
• (EN) Mathematical Assistant on Web — symbolic computations online. Allows to integrate in small steps (with hints for next step (integration by parts, substitution, partial fractions, application of formulas and others), powered by Maxima